目录

• 一、向量
  • 坐标表示
• 二、加减法
  • 向量加法
    • 应用示例
  • 向量减法
    • 应用示例
• 三、向量内积
  • • 应用示例
• 四、向量外积
  • • 应用示例
• 五、小试牛刀
  • • 代码示例
• 六、小结

一、向量

这次我们继续聊一下向量。

向量可以理解为一个有方向的量。

它既有大小（长度），又有方向（指向哪里）。

生活中很多东西都可以用向量描述，比如：

• 🚗 速度（你开车 60 km/h 向东）
• 🌬️ 风（风速 5 m/s 向北）
• 📦 力（用 10 牛顿的力推箱子向右）

坐标表示

在数学里，我们通常用坐标来表示向量；而在几何空间中，常常用箭头来表示向量，箭头的长度表示大小（模），方向表示向量的方向。

• 在二维空间中，一个向量表示如下：

[vec{v} = (x, y)
]

其中 x 表示水平方向分量，y 表示竖直方向分量。
向量的模长为：(|vec{v}| = sqrt{x^2 + y^2})

• 在三维空间中，一个向量表示如下：

[vec{v} = (x, y, z)
]

其中 x, y, z 分别是沿三个坐标轴的分量。
向量的模长为：(|vec{v}| = sqrt{x^2 + y^2 + z^2})

• 在N维空间中，一个向量表示如下：

[vec{v} = (x_1, x_2.. x_n)
]

其中 x1...xn 分别是各个维度的分量。
向量的模长为：(|vec{v}| = sqrt{x_1^2 + x_2^2 + dots + x_n^2} \)

二、加减法

向量加法

设定：

[vec{a} = (x_1, y_1), quad vec{b} = (x_2, y_2)
]

那么有：

[vec{a} + vec{b} = (x_1 + x_2, ; y_1 + y_2)
]

加法的几何意义，可以使用三角形法则或平行四边形法则来说明：

简单的可以理解为，(vec{a}+vec{b}) 就是从坐标原点沿着(vec{a})行进后，再沿着(vec{b})行进。

应用示例

假定有两股方向的力，如下：

(vec{F_1} = (3, 4), quad vec{F_2} = (1, 2))

那么这两股力的合力为：

(vec{F} = vec{F_1} + vec{F_2} = (3+1, 4+2) = (4, 6))

向量减法

设定：

[vec{a} = (x_1, y_1), quad vec{b} = (x_2, y_2)
]

那么有：

[vec{a} - vec{b} = (x_1 - x_2, ; y_1 - y_2)
]

加法的几何意义，可以使用三角形法则或平行四边形法则来说明：

简单的可以理解为，(vec{a}-vec{b}) 就是从b的终点开始，朝着(vec{a})的终点行进的向量。

应用示例

在船的航行过程中，可以利用向量的减法来获得船和水流的相对速度。

假定船的速度向量为：

(vec{v}_{船} = (8, 0) quad (text{向东 8 m/s}))

水流速度向量为：

(vec{v}_{水} = (3, 1) quad (text{向东 3 m/s，向北 1 m/s}))

那么船相对水流的速度向量为：

(vec{v}_{相对} = (8-3, 0-1) = (5, -1))

表示向东 5 m/s、向南 1 m/s。

三、向量内积

向量的内积又称为点积（Dot Product），内积是两个向量对应分量相乘后求和的一个标量值。

设定：

[vec{a} = (x_1, y_1), quad vec{b} = (x_2, y_2)
]

那么有：

[vec{a} cdot vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2
]

从几何意义上讲，向量的内积还可以表示如下：

[vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| costheta
]

具体的证明可以参考下图，将坐标系进行旋转后，可完成推理：

其中 ⁡θ 表示两个向量的夹角，根据余弦定理可以得出：

• 假定模长不变，夹角越小，内积则越大
• 当夹角为90度时（两个向量垂直），此时内积为0
• 内积的本质等同于向量的投影和模长的乘积
• 坐标旋转时，内积保持不变

应用示例

我们在电商平台上浏览产品详情时，经常会看到"相似产品"这样的页签，其中会给我们推荐相关的产品。

这种商品推荐的场景便可以基于"余弦相似度"来实现，余弦相似度的核心是仅考虑向量的方向一致，忽略模长的影响。具体实现如下：

1. 将商品信息特征化表述，包括：

   • 类目
   • 品牌
   • 价格区间
   • 颜色 / 尺寸 / 材质
   • 商品标题/描述
   • 图片特征

2. 特征向量归一化

   上述的商品特征可以基于Embedding、CNN等算法来提取为特征值。

   这些特征值拼接后形成一个统一的商品向量，如下：

   [vec{g} = [x_{类目}, x_{品牌},x_{价格},x_{尺寸},x_{颜色},x_{图谱特征}..]
   ]

   由于不同维度的特征值其模长无法统一，我们需要将其进行归一化（L2归一）：

   对于其中的 (x_k)，其归一后的值为：

   [X_k = frac{x_k}{sqrt{x_1^2 + x_2^2 + cdots + x_n^2}}
   ]

   L2归一化使用欧几里得范数来计算，最终得到特征向量为：

   [vec{G} = [X_{类目}, X_{品牌},X_{价格},X_{尺寸},X_{颜色},X_{图谱特征}..]
   ]

   归一化后，∥G∥=1，余弦相似度就简化成两个单位向量的点积，只比较方向（特征分布模式），消除了特征值大小的影响。

3. 计算商品特征向量的相似度，获得最相似的N个商品

   通过计算向量的点积来比较相似度：$ simulaty = vec{G} cdot vec{G2}$

向量点积在机器学习中常用于评估特征的方向相似性

四、向量外积

向量的外积又称为叉积（Cross Product），两个向量的外积是一个同时垂直于两者的向量。

设定：

[vec{a} = (x_1, y_1), quad vec{b} = (x_2, y_2)
]

那么有：

[vec{a} × vec{b} = vec{c}
]

• 向量 (vec{c})的模长：$vec{c} = ∣vec{a}∣∣vec{b}∣sin⁡θ $，在几何意义上等同与两个向量为边的平行四边形的面积。

• 向量 (vec{c})的方向：垂直于两个向量构成的平面。

如下图所示：

向量 (vec{c})的方向除了垂直之外，还需要遵循右手螺旋定则，也就是对于 (vec{a} × vec{b} = vec{c}) 来说，右手四指方向从 a 转向 b，大拇指所指方向就是 c 的方向。所以， (vec{a} × vec{b}) 和 (vec{b} × vec{a}) 的结果是相反的，即向量外积不满足交换律。

从几何图形上看，向量的外积可以垂直于两个向量组成的平面，当向量平行（共线）时，向量的外积为0。

需要注意的是，向量的外积仅适用于三维图形，在四维及更高维空间中，垂直于两个向量的方向不唯一，而是一个高维子空间，因此无法用一个单一向量来表示。

应用示例

物理学上，我们通过力矩（Torque）来描述一种"让物体转起来的能力"。

比如：

你用扳手拧螺丝，用力的大小、角度和离螺丝中心的距离都会影响拧动的效果。

同样的力，扳手越长（离中心越远），越容易拧动——因为力矩更大。

力矩的公式如下：

[vec{𝜏}=vec{𝑟}×vec{𝐹}
]

• r 是从旋转中心到施力点的位置向量

• 𝐹：施加的作用力

力矩是向量 r 和向量 F的外积向量：

• 力矩的方向：由右手定则决定，表示旋转轴的方向

• 力矩的大小：等于 (|vec{r}| cdot |vec{F}| cdot sintheta)，也就是力度、垂直距离、和角度三者叠加的结果。

五、小试牛刀

下面使用 numpy 来实现本文提到的向量加减法、向量内积和外积计算。

代码示例

import numpy as np

# 定义两个三维向量
a = np.array([3, 4, 0])
b = np.array([4, 0, 3])

# 1️⃣ 向量加法
add = a + b
print("加法 a + b =", add)

# 2️⃣ 向量减法
sub = a - b
print("减法 a - b =", sub)

# 3️⃣ 向量内积（点积）
dot = np.dot(a, b)
print("内积 a · b =", dot)

# 4️⃣ 特征归一化（L2归一）
a_norm = a / np.linalg.norm(a)
b_norm = b / np.linalg.norm(b)
print("归一化后的 a =", a_norm)
print("归一化后的 b =", b_norm)

# 5️⃣ 归一后的余弦相似度
cos_sim = np.dot(a_norm, b_norm)
print("归一后的余弦相似度 =", cos_sim)

# 6️⃣ 向量外积（叉积）
cross = np.cross(a, b)
print("外积 a × b =", cross)

执行上述程序，输出结果如下：

加法 a + b = [7 4 3]
减法 a - b = [-1  4 -3]
内积 a · b = 12
归一化后的 a = [0.6 0.8 0. ]
归一化后的 b = [0.8 0.  0.6]
归一后的余弦相似度 = 0.48
外积 a × b = [ 12  -9 -16]

六、小结

向量的概念早在中学数学、物理学中就已经能接触到了，理解向量和空间几何的结合非常重要。从最简单的加减法就能体会到基本相对量的价值；向量内积更是各种推荐算法、特征相似度计算的基础范式，向量外积在机械工程学中大行其道等等，这些无一证明了向量在现实的数学应用中的重要地位。