回忆中学的函数

这篇文章,带你一次性回顾中学时代里的那些函数。如果对初中、高中的函数还记忆模糊,建议往下翻一翻。

目录

  • 一、函数的意义

    • 要素
    • 特征
  • 二、初阶函数

    • 1. 一次函数

      • 函数特征
      • 应用示例
    • 2. 反比例函数

      • 函数特征
      • 应用示例
    • 3. 二次函数

      • 函数特征
      • 应用示例
  • 三、高阶函数

    • 4. 指数函数

      • 函数特征
      • 应用示例
    • 5. 对数函数

      • 函数特征
      • 应用示例
    • 6. 幂函数

      • 函数特征
      • 应用示例
    • 7. 绝对函数

      • 函数特征
      • 应用示例
    • 8. Sigmoid函数

      • 函数特征
      • 应用示例
    • 9. 三角函数

      • 函数特征
      • 应用示例
  • 小结

一、函数的意义

如果说,学数学的核心就在于学习函数,应该没有人会不同意吧。

数学应用的目的是求解现实中的各种问题,其中,为了模拟这种 "已知 xxx, 那么xxx" 论述的过程,函数是最重要的形式。通俗点说,函数就像一个“机器”:你输入一个值,它按照规则处理后输出一个结果

函数的定义通常记为:

[y = f(x)
]

其中,x 叫自变量,y 是因变量,大致的意思就是 y 随着 x 的变化而变化,或者说 y 的取值和 x 离不开干系。

那么 f(x) 描述的就是这种关系本身,即通过 x 要怎样推断出 y 的值。

要素

严格说,函数包含三个要素,如下面的示例函数:

[f(x)=2x+1
]

  • 要素1, 定义域, x 的取值范围,如 (x in mathbb{R})
  • 要素2, 值域,y 也就是 f(x) 的结果取值范围, 如 (y in mathbb{R})
  • 要素3, 计算法则,即 f(x) 公式本身

特征

既然函数描述了数据之间的关系,而现实场景中数据的关系会存在一些规律,这些规律通过图像特征也能够直观的看出。一些常见的规律就包括:

单调性

函数单调性描述的是函数值随着自变量的变大是变大还是变小,如单调递增或递减。

举例:我们的愿望是,👉 工资和自己工作年限的关系是单调递增,工作越久,工资越高。

奇偶性

奇偶性描述的是函数在正负方向上的对称性,例如当x为2和-2时,y=4则为偶函数,若y=4和-4则为奇函数

举例:我是一面镜子,也是一个偶函数。

对称性

函数图像是否在某个轴或点上呈现对称结构,可以认为奇偶性是特殊的对称性。

举例:蝴蝶的翅膀是左右对称的。

周期性

周期性表示函数的图像或数值每隔一段时间,会重复一次

举例:钟表的指针运动、日出日落、心跳波形等等。

二、初阶函数

1. 一次函数

一次函数的公式如下:

[y = kx + b
]

  • k 是斜率(不能为 0),表示函数的变化速度;
  • b 是常数,表示图像在 y 轴上的截距。

当 b = 0 时,函数变为 y = kx,是一个正比例函数。

在几何上,一次函数是一条直线,如下:

函数特征

特征项 描述说明
📍 图像形状 一条直线
📈 斜率 k 决定直线的倾斜方向和陡峭程度
📍 截距 b 决定图像与 y 轴的交点位置
🔁 单调性 当 k>0,函数递增;当 k<0,函数递减
🧭 象限分布 根据 k 和 b 的符号,图像穿过不同象限

应用示例

假定你是一家小商店老板,需要做整体成本计算

  • 表达式:(y =5x+100)
  • 含义:x 代表 每件商品成本为 5 元,固定成本为 100 元。

2. 反比例函数

反比例函数的公式如下:

[y = frac{k}{x}
]

  • k 是常数,且 (x≠0)

反比例函数的图像是一条双曲线,如下:

当 k > 0 时,图像位于第一象限和第三象限;

当 k < 0 时,图像位于第二象限和第四象限。

函数特征

特征项 描述说明
📍 图像形状 双曲线,两支分别位于对角象限
🔁 单调性 在每个象限内单调递减
🚫 不连续点 在 x=0 处无定义,图像断裂
🧭 对称性 关于原点中心对称
📈 渐近线 x轴和y轴是渐近线,图像无限接近但不相交

应用示例

.工厂作业时,计算工作效率与时间的关系

  • 表达式:(y = frac{10}{x})
  • 含义:完成同一任务所需时间 y 与工人数 x 成反比。
  • 举例:10人完成任务需1小时,5人则需2小时。

3. 二次函数

二次函数的公式如下:

[y = ax^2 + bx + c
]

  • (a neq 0),否则退化为一次函数;
  • b, c 为常数。

二次函数的图像是一条抛物线,如下:

掌握二次函数需要理解判别式:

[Delta = { b^2 - 4ac}
]

判别式的符号与二次函数的图像特征有特定的关系,如下所示:

函数特征

特征项 描述说明
📍 图像形状 抛物线
🔁 开口方向 a > 0 向上开口,a<0 向下开口
🎯 顶点坐标 ((-frac{b}{2a}, frac{4ac - b^2}{4a}))
🧭 对称轴 (x = -frac{b}{2a})
📈 单调性 顶点左侧递减,右侧递增(或相反)
🚫 零点 与 x 轴交点由判别式 (Delta = b^2 - 4ac) 决定

应用示例

抛体运动高度计算,物体在竖直方向上,高度随时间变化的关系。

  • 表达式:(y = -frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0)

  • 含义: g 是重力,v0 是初始速度,h0 是初始高度。

三、高阶函数

4. 指数函数

指数函数的公式如下:

[y = a^x quad (a > 0, a ne 1)
]

其中:

  • a 是底数,必须为正且不等于 1;
  • 函数值 y 是底数 a 的 x 次幂。

指数函数的图像是一条光滑曲线,如下:

函数特征

条目 特征说明
📈 增减性 当 a > 1 时,函数递增;当 0<a<1 时,函数递减
📍 交点 图像恒过点 (0, 1),因为 (a^0 = 1)
🚫 渐近线 x 轴是水平渐近线,图像无限接近但不相交
🧭 定义域 ((-infty, +infty)),值域为 ((0, +infty))
🔁 单调性 在整个定义域内保持单调性,无极值点

应用示例

金融场景下,利用指数函数进行复利计算:

  • 表达式:(A = P(1 + r)^n)
  • 含义:本金 P 在利率 r 下经过 n 期后的总额。

5. 对数函数

对数函数可看作是指数函数的反过程,对数函数的定义如下:

[y = log_a x quad (a > 0, a ne 1, x > 0)
]

  • 底数 a 的多少次幂等于 x,即 (a^y = x)
  • a是底数,必须为正且不等于 1
  • x 是正数,必须大于 0
  • y 是以 a 为底的 x 的对数

对数函数的图像是一条光滑曲线,和相应的指数函数沿着 y=x 直线呈对称关系,如下:

函数特征

特征项 描述说明
📍 图像形状 曲线,呈现递增或递减
📈 单调性 当 a > 1,图像递增;当 0 < a < 1,图像递减
📍 交点 恒过点 (1, 0),因为 (log_a 1 = 0)
🚫 渐近线 y 轴(即x = 0)是垂直渐近线
🧭 定义域 x > 0,值域为 (−∞,+∞)

应用示例

碳-14测年法(Carbon-14 dating)是一种非常重要的放射性同位素测定技术,可用来估算有机遗骸的年代。

当生物死亡后,它就不再吸收碳,体内的 (^{14}C) 开始以固定速率衰减。通过测量遗骸中剩余的 (^{14}C) 含量,就可以推算出死亡时间。

  • 表达式:(N=N_0⋅e^{−λt}),推出 (t = frac{1}{lambda} log_e left( frac{N_0}{N} right))
  • 含义: N0 是初始碳-14量值,N 是当前值,λ 衰变常数,e是自然对数。

6. 幂函数

幂函数的公式如下:

[f(x) = a cdot x^n
]

  • a 是常数(通常为系数);
  • n 是幂指数,可以是正数、负数、分数甚至无理数;
  • 当 a = 1 时,函数简化为 (f(x) = x^n),这是最常见的形式。

从几何上看,幂函数的图像形状随指数 n 的不同而变化显著,如下:

函数特征

幂指数 n 图像特征说明
正整数(偶数) 图像关于 y 轴对称,开口向上,如 (y = x^2)
正整数(奇数) 图像关于原点对称,穿过原点,如 (y = x^3)
分数指数 图像在第一象限,如 (y = sqrt{x}),定义域为 (x geq 0)
负整数 图像呈双曲线状,如 (y = x^{-1}),在 x = 0 处无定义

应用示例

电功率公式:(P = I^2 R)

  • 含义:其中 I是电流,R 是电阻。

  • 说明:该公式基于欧姆定律和功率公式结合得出,用于适用于电阻器、电热器等纯电阻负载的计算。

7. 绝对函数

绝对函数的公式如下:

[f(x) =
begin{cases}
x, & x geq 0 \
-x, & x < 0
end{cases}
]

  • ∣x∣表示数 x 到原点的距离;
  • 当 (x geq 0),∣x∣=x;
  • 当 (x<0),|x| = -x。

绝对函数本质上是一个分段函数,在图像上是一条“V” 型折线,如下:

函数特征

特征项 描述说明
📍 图像形状 V 形折线,左右对称
📈 单调性 左侧递减,右侧递增;
📍 交点 顶点在原点 (0, 0),是图像的转折点;
🚫 斜率 左侧斜率为 -1,右侧斜率为 +1;
🧭 定义域 最小值为 0,无最大值。

应用示例

在评估传感器数值的准确度时,经常会使用 MAE 方法进行误差分析

  • 表达式:(text{MAE} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} |text{测量值}_i - text{真实值}_i|)
  • 含义:将多次历史数据的测量值与真实值之间的误差进行平均计算,得到评估的准确度。

8. Sigmoid函数

Sigmoid 函数(也称为 Logistic 函数)是一种收敛函数,适用于解决概率建模和二分类问题,也是机器学习深度学习中常见的激活函数。

Sigmoid 函数的定义如下:

[f(x) = frac{1}{1 + e^{-x}}
]

  • e 是自然常数(约等于 2.718);
  • 输出值(f(x) in (0, 1)),即将任意实数压缩到 0 到 1 的区间

从几何上看,Sigmoid 函数是一个值介于0和1之间的渐进式曲线,如下:

函数特征

特征项 描述说明
📈 单调性 函数在整个定义域上单调递增
🎯 对称性 图像关于原点对称 (f(-x) = 1 - f(x))
📍 极限值 当 (x to -infty,f(x) to 0);当 (x to +infty,f(x) to 1)
🧭 中心点 当 x = 0,f(x)=0.5,图像在此处最陡
🚫 渐近线 y 轴两侧分别有水平渐近线 y=0和 y=1

应用示例

神经网络激活函数

  • 用于隐藏层或输出层,将神经元输出压缩到 (0,1)(0, 1) 区间;
  • 举例:在二分类问题中,输出值可解释为属于正类的概率。

9. 三角函数

三角函数是数学中用于描述角与边之间关系的基本函数,广泛应用于几何、物理、工程、天文等领域。

三角函数的公式如下:

[sin x = frac{text{对边}}{text{斜边}}, quad
cos x = frac{text{邻边}}{text{斜边}}, quad
tan x = frac{text{对边}}{text{邻边}}
]

函数 图像形状 周期 振幅 对称性
(sin x) 波浪形 (2pi) 1 奇函数,关于原点对称
(cos x) 波浪形 (2pi) 1 偶函数,关于 y 轴对称
(tan x) 间断曲线 (pi) 无界 奇函数,关于原点对称

函数特征
应用示例

物理振动建模,使用正弦波的数学表达式来描述物体振动随时间变化的波动情况。

  • 表达式:(x(t) = A sin(omega t + phi))
  • 含义:(omega 是角频率(波动的快慢),t 是时间,phi 是初始偏移,A 是振幅)。
  • 举例:(x(t)=5sin⁡(2πt),振幅为5米,omega = 2pi,即频率为 1 Hz(每秒一周期),初始偏移为0)

小结

函数是中学数学教材的主要学习和考试内容,它同时也有着大量的实际场景应用。在机器学习和深度学习领域,存在不少以函数为基础的理论研究和实践。但不幸的是,对大部分职场老鸟来说,这些内容因时间和职业方向关系早已不再熟悉。本文对早期常见的一些基础函数做了整理,旨在帮助快速回顾并建立一些基础知识印象。

版权声明:cnblogshot 发表于 2025-10-01 16:48:03。
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