本文主要讲解关于2024 五一杯高校数学建模邀请赛（A题）|钢板最优切割路径问题|建模秘籍&文章代码思路大全相关内容，让我们来一起学习下吧！

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问题1：给定如图2所示的下料切割布局N1，其中B3-B4为钢板边界线，不用切割，B1为切割起始点。请建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度。

设钢板的长为

L

L

L，宽为

W

W

W，切割起始点为

(

x

1

,

y

1

)

=

(

0

,

0

)

(x_1,y_1)=(0,0)

(x1​,y1​)=(0,0)，切割终点为

(

x

2

,

y

2

)

=

(

L

,

W

)

(x_2,y_2)=(L,W)

(x2​,y2​)=(L,W)，切割路径为

P

=

{

(

x

i

,

y

i

)

}

i

=

1

n

P={(x_i,y_i)}_{i=1}^n

P={(xi​,yi​)}i=1n​，其中

n

n

n为切割次数。

空程总长度

S

S

S为所有空程的长度之和，即

S

=

∑

i

=

1

n

−

1

(

x

i

+

1

−

x

i

)

2

+

(

y

i

+

1

−

y

i

)

2

S=sum_{i=1}^{n-1}sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2+(y_{i+1}-y_i)^2}

S=i=1∑n−1​(xi+1​−xi​)2+(yi+1​−yi​)2
​

为了使空程总长度最小，需要优化切割路径

P

P

P。根据题意，切割线必须从切割起始点出发，且每次切割必须沿着钢板的边界线进行，因此切割路径

P

P

P可以表示为：

P

=

{

(

x

i

,

y

i

)

}

i

=

1

n

=

{

(

x

1

,

y

1

)

,

(

x

2

,

y

2

)

,

.

.

.

,

(

x

n

,

y

n

)

}

P={(x_i,y_i)}_{i=1}^n={(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)}

P={(xi​,yi​)}i=1n​={(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xn​,yn​)} 其中，

x

i

x_i

xi​和

y

i

y_i

yi​满足以下条件：

x

i

∈

{

0

,

L

}

,

y

i

∈

{

0

,

W

}

,

i

=

1

,

2

,

.

.

.

,

n

x_iin{0,L},quad y_iin{0,W},quad i=1,2,...,n

xi​∈{0,L},yi​∈{0,W},i=1,2,...,n

同时，为了保证切割线不重叠，需要满足以下条件：

x

i

≠

x

j

,

y

i

≠

y

j

,

i

≠

j

x_ineq x_j,quad y_ineq y_j,quad ineq j

xi​=xj​,yi​=yj​,i=j

综上，问题1可以建立如下数学模型：

min

⁡

P

∑

i

=

1

n

−

1

(

x

i

+

1

−

x

i

)

2

+

(

y

i

+

1

−

y

i

)

2

min_{P}sum_{i=1}^{n-1}sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2+(y_{i+1}-y_i)^2}

Pmin​i=1∑n−1​(xi+1​−xi​)2+(yi+1​−yi​)2
​

s

.

t

.

x

i

∈

{

0

,

L

}

,

y

i

∈

{

0

,

W

}

,

i

=

1

,

2

,

.

.

.

,

n

s.t.quad x_iin{0,L},quad y_iin{0,W},quad i=1,2,...,n

s.t.xi​∈{0,L},yi​∈{0,W},i=1,2,...,n

x

i

≠

x

j

,

y

i

≠

y

j

,

i

≠

j

x_ineq x_j,quad y_ineq y_j,quad ineq j

xi​=xj​,yi​=yj​,i=j

其中，

P

P

P为切割路径，

n

n

n为切割次数，

x

i

x_i

xi​和

y

i

y_i

yi​为第

i

i

i次切割的坐标。最优切割路径方案即为使得空程总长度最小的切割路径

P

P

P。

首先，我们可以将钢板切割路径问题抽象为一个图论问题。将钢板布局图中的每个切割点视为图中的一个节点，切割线视为节点之间的边。则钢板切割路径问题可以转化为在这个图中寻找一条最优路径，使得空程最短。

根据题目要求，切割起始点为B1，因此我们可以将B1作为图中的起点。同时，B3-B4为钢板边界线，不用切割，可以将其视为图中的终点。

接下来，我们需要确定图中的权重。根据题目要求，空程是指在切割过程中不产生切割效果的水平运动路径，因此我们可以将每条边的权重设为其对应的空程长度。

最优切割路径的空程总长度即为从起点到终点的最短路径长度。因此，我们可以使用Dijkstra算法来求解最优切割路径。该算法可以在O(nlogn)的时间复杂度内求解最短路径。

综上所述，我们可以建立如下数学模型：

1. 将钢板布局图抽象为一个图G=(V,E)，其中V为节点集合，E为边集合。
2. 将切割起始点B1作为图中的起点，将钢板边界线B3-B4作为图中的终点。
3. 将每条边的权重设为其对应的空程长度。
4. 使用Dijkstra算法求解最短路径，得到最优切割路径的空程总长度。

在具体实现时，可以使用邻接矩阵来表示图G，并使用优先队列来实现Dijkstra算法，从而提高算法的效率。

最后，我们可以通过调整切割起始点的位置，来进一步优化切割路径，使得空程总长度更短。因此，钢板切割路径问题可以进一步拓展为一个优化问题，可以使用遗传算法等方法来求解最优解。

设钢板的长为

L

L

L，宽为

W

W

W，切割起始点为

(

0

,

0

)

(0,0)

(0,0)，切割终点为

(

L

,

W

)

(L,W)

(L,W)，切割线的集合为

S

S

S，则最优切割路径方案可以表示为：

min

⁡

S

∑

i

=

1

n

l

i

min_{S} sum_{i=1}^{n} l_i

Smin​i=1∑n​li​

其中，

n

n

n为切割线的数量，

l

i

l_i

li​为第

i

i

i条切割线的长度。为了满足空程最短的原则，我们需要考虑切割线的方向和顺序。假设第

i

i

i条切割线的起点为

(

x

i

,

y

i

)

(x_i,y_i)

(xi​,yi​)，终点为

(

x

i

+

1

,

y

i

+

1

)

(x_{i+1},y_{i+1})

(xi+1​,yi+1​)，则第

i

i

i条切割线的长度可以表示为：

l

i

=

(

x

i

+

1

−

x

i

)

2

+

(

y

i

+

1

−

y

i

)

2

l_i = sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2 + (y_{i+1}-y_i)^2}

li​=(xi+1​−xi​)2+(yi+1​−yi​)2
​

为了使空程最短，我们需要使得切割线的方向尽可能平行于钢板的边界线。因此，我们可以将切割线的方向限制在以下四种情况中的一种：

1. 水平向右：

   x

   i

   +

   1

   =

   x

   i

   +

   l

   i

   ,

   y

   i

   +

   1

   =

   y

   i

   x_{i+1} = x_i + l_i, y_{i+1} = y_i

   xi+1​=xi​+li​,yi+1​=yi​

2. 水平向左：

   x

   i

   +

   1

   =

   x

   i

   −

   l

   i

   ,

   y

   i

   +

   1

   =

   y

   i

   x_{i+1} = x_i - l_i, y_{i+1} = y_i

   xi+1​=xi​−li​,yi+1​=yi​

3. 垂直向上：

   x

   i

   +

   1

   =

   x

   i

   ,

   y

   i

   +

   1

   =

   y

   i

   +

   l

   i

   x_{i+1} = x_i, y_{i+1} = y_i + l_i

   xi+1​=xi​,yi+1​=yi​+li​

4. 垂直向下：

   x

   i

   +

   1

   =

   x

   i

   ,

   y

   i

   +

   1

   =

   y

   i

   −

   l

   i

   x_{i+1} = x_i, y_{i+1} = y_i - l_i

   xi+1​=xi​,yi+1​=yi​−li​

同时，我们还需要考虑切割线的顺序，即每条切割线的起点必须与上一条切割线的终点相同。因此，我们可以将切割线的顺序限制在以下两种情况中的一种：

1. 顺序：

   x

   i

   +

   1

   ≥

   x

   i

   ,

   y

   i

   +

   1

   ≥

   y

   i

   x_{i+1} geq x_i, y_{i+1} geq y_i

   xi+1​≥xi​,yi+1​≥yi​

2. 逆序：

   x

   i

   +

   1

   ≤

   x

   i

   ,

   y

   i

   +

   1

   ≤

   y

   i

   x_{i+1} leq x_i, y_{i+1} leq y_i

   xi+1​≤xi​,yi+1​≤yi​

综上所述，我们可以得到最优切割路径方案的数学模型为：

min

⁡

S

∑

i

=

1

n

(

x

i

+

1

−

x

i

)

2

+

(

y

i

+

1

−

y

i

)

2

min_{S} sum_{i=1}^{n} sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2 + (y_{i+1}-y_i)^2}

Smin​i=1∑n​(xi+1​−xi​)2+(yi+1​−yi​)2
​

s

.

t

.

{

x

1

=

0

,

y

1

=

0

x

n

=

L

,

y

n

=

W

x

i

+

1

≥

x

i

,

y

i

+

1

≥

y

i

,

i

=

1

,

2

,

.

.

.

,

n

−

1

或

x

i

+

1

≤

x

i

,

y

i

+

1

≤

y

i

,

i

=

1

,

2

,

.

.

.

,

n

−

1

s.t. begin{cases} x_1 = 0, y_1 = 0 \ x_n = L, y_n = W \ x_{i+1} geq x_i, y_{i+1} geq y_i, i = 1,2,...,n-1 \ text{或} \ x_{i+1} leq x_i, y_{i+1} leq y_i, i = 1,2,...,n-1 end{cases}

s.t.⎩
⎨
⎧​x1​=0,y1​=0xn​=L,yn​=Wxi+1​≥xi​,yi+1​≥yi​,i=1,2,...,n−1或xi+1​≤xi​,yi+1​≤yi​,i=1,2,...,n−1​

其中，

x

i

x_i

xi​和

y

i

y_i

yi​为第

i

i

i条切割线的起点坐标，

x

i

+

1

x_{i+1}

xi+1​和

y

i

+

1

y_{i+1}

yi+1​为第

i

i

i条切割线的终点坐标。最优切割路径的空程总长度为最小值。

首先，我们需要将下料切割布局N1转换为一个二维数组，用来表示钢板的布局。数组中的每个元素表示一个小方格，1表示需要切割的部分，0表示不需要切割的部分。

下料切割布局N1的二维数组表示如下： [[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,1,1,1,1,1,1,1,1], [0,0,1,1,1,1,1,1,1,1], [0,0,1,1,1,1,1,1,1,1], [0,0,1,1,1,1,1,1,

第二个问题是给定下料切割布局N2，根据参数信息建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度。

假设钢板的尺寸为

W

×

H

Wtimes H

W×H，其中

W

W

W为钢板的宽度，

H

H

H为钢板的高度。根据下料切割布局N2的参数信息，可以得知钢板上需要切割的零件的尺寸和位置，其中包括四个半径为3的圆形和一个椭圆形。

首先，我们需要确定切割起始点的位置，根据题目要求，切割起始点位于钢板的右下角，即

(

W

,

0

)

(W, 0)

(W,0)。接下来，我们需要确定最优的切割路径，使得空程最短。为了简化问题，我们假设切割路径只能沿着水平或垂直方向进行，即每次切割只能沿着水平或垂直方向移动一定的距离。

假设切割路径的总长度为

L

L

L，则空程的总长度为

L

−

W

−

H

L-W-H

L−W−H。为了使得空程最短，我们需要最小化

L

L

L。根据题目要求，切割线不能相交，因此我们可以将钢板分割成若干个矩形区域，每个矩形区域内只包含一个零件，且零件的中心点位于矩形区域的中心。

假设钢板上需要切割的零件的数量为

n

n

n，则钢板可以被分割成

n

+

1

n+1

n+1个矩形区域，其中

n

n

n个矩形区域内分别包含一个圆形零件，最后一个矩形区域内包含一个椭圆形零件。假设圆形零件的半径为

r

r

r，椭圆形零件的长轴和短轴分别为

a

a

a和

b

b

b，则钢板可以被分割成

n

+

1

n+1

n+1个矩形区域，每个矩形区域的宽度为

2

r

2r

2r，高度为

2

r

2r

2r，除了最后一个矩形区域的宽度为

2

a

2a

2a，高度为

2

b

2b

2b。

为了使得空程最短，我们需要确定每个矩形区域的切割路径，使得每个矩形区域内的空程最短。假设第

i

i

i个矩形区域的左下角坐标为

(

x

i

,

y

i

)

(x_i, y_i)

(xi​,yi​)，则第

i

i

i个矩形区域的切割路径可以表示为：

(

x

i

,

y

i

)

→

(

x

i

+

2

r

,

y

i

)

→

(

x

i

+

2

r

,

y

i

+

2

r

)

→

(

x

i

,

y

i

+

2

r

)

→

(

x

i

,

y

i

+

2

r

+

2

r

)

→

(

x

i

+

2

r

,

y

i

+

2

r

+

2

r

)

(x_i, y_i) rightarrow (x_i + 2r, y_i) rightarrow (x_i + 2r, y_i + 2r) rightarrow (x_i, y_i + 2r) rightarrow (x_i, y_i + 2r + 2r) rightarrow (x_i + 2r, y_i + 2r + 2r)

(xi​,yi​)→(xi​+2r,yi​)→(xi​+2r,yi​+2r)→(xi​,yi​+2r)→(xi​,yi​+2r+2r)→(xi​+2r,yi​+2r+2r)

其中，第一个箭头表示从左下角开始沿着水平方向移动

2

r

2r

2r的距离，第二个箭头表示从上一个位置开始沿着垂直方向移动

2

r

2r

2r的距离，第三个箭头表示从上一个位置开始沿着水平方向移动

2

r

2r

2r的距离，第四个箭头表示从上一个位置开始沿着垂直方向移动

2

r

2r

2r的距离，第五个箭头表示从上一个位置开始沿着水平方向移动

2

r

2r

2r的距离，第六个箭头表示从上一个位置开始沿着垂直方向移动

2

r

2r

2r的距离。

同理，最后一个矩形区域的切割路径可以表示为：

(

x

n

,

y

n

)

→

(

x

n

+

2

a

,

y

n

)

→

(

x

n

+

2

a

,

y

n

+

2

b

)

→

(

x

n

,

y

n

+

2

b

)

→

(

x

n

,

y

n

+

2

b

+

2

b

)

→

(

x

n

+

2

a

,

y

n

+

2

b

+

2

b

)

(x_n, y_n) rightarrow (x_n + 2a, y_n) rightarrow (x_n + 2a, y_n + 2b) rightarrow (x_n, y_n + 2b) rightarrow (x_n, y_n + 2b + 2b) rightarrow (x_n + 2a, y_n + 2b + 2b)

(xn​,yn​)→(xn​+2a,yn​)→(xn​+2a,yn​+2b)→(xn​,yn​+2b)→(xn​,yn​+2b+2b)→(xn​+2a,yn​+2b+2b)

因此，总的切割路径可以表示为：

L

=

∑

i

=

1

n

6

r

+

6

b

+

2

a

L = sum_{i=1}^{n} 6r + 6b + 2a

L=i=1∑n​6r+6b+2a

为了使得空程最短，我们需要最小化

L

L

L，即最小化

∑

i

=

1

n

6

r

+

6

b

+

2

a

sum_{i=1}^{n} 6r + 6b + 2a

∑i=1n​6r+6b+2a。根据题目要求，圆形零件的半径

r

r

r和椭圆形零件的长轴

a

a

a和短轴

b

b

b都是已知的，因此我们只需要确定每个矩形区域的左下角坐标

(

x

i

,

y

i

)

(x_i, y_i)

(xi​,yi​)，使得

L

L

L最小。

假设第

i

i

i个矩形区域的左下角坐标为

(

x

i

,

y

i

)

(x_i, y_i)

(xi​,yi​)，则根据题目要求，每个矩形区域内的零件的中心点位于矩形区域的中心，即：

(

x

i

+

r

,

y

i

+

r

)

=

(

x

i

+

a

,

y

i

+

b

)

(x_i + r, y_i + r) = (x_i + a, y_i + b)

(xi​+r,yi​+r)=(xi​+a,yi​+b)

解得：

x

i

=

a

−

b

2

,

y

i

=

b

−

a

2

x_i = frac{a-b}{2}, y_i = frac{b-a}{2}

xi​=2a−b​,yi​=2b−a​

因此，最优的切割路径可以表示为：

L

=

∑

i

=

1

n

6

r

+

6

b

+

2

a

=

6

n

r

+

6

n

b

+

2

n

a

=

6

n

(

r

+

b

)

+

2

n

a

=

6

n

(

2

r

)

+

2

n

a

=

12

n

r

+

2

n

a

L = sum_{i=1}^{n} 6r + 6b + 2a = 6nr + 6nb + 2na = 6n(r+b) + 2na = 6n(2r) + 2na = 12nr + 2na

L=i=1∑n​6r+6b+2a=6nr+6nb+2na=6n(r+b)+2na=6n(2r)+2na=12nr+2na

因此，最优切割路径的空程总长度为

12

n

r

+

2

n

a

12nr + 2na

12nr+2na。

问题2解答：

首先，根据给定的下料切割布局N2，我们可以将其分为四个部分：上部分的锯齿形切割、下部分的锯齿形切割、四个圆形切割和一个椭圆形切割。我们可以将这四个部分分别进行最优切割路径的设计，然后将它们合并起来，得到整个钢板的最优切割路径。

首先考虑上部分的锯齿形切割，我们可以将其分为两个部分：左边的锯齿形切割和右边的锯齿形切割。对于左边的锯齿形切割，我们可以将其看作是一个长方形的切割，其长为10，宽为6。同理，对于右边的锯齿形切割，我们也可以将其看作是一个长方形的切割，其长为10，宽为6。因此，我们可以使用最优切割路径的经典算法来求解这两个长方形的最优切割路径，从而得到上部分的最优切割路径。

接下来考虑下部分的锯齿形切割，同样可以将其分为两个部分：左边的锯齿形切割和右边的锯齿形切割。对于左边的锯齿形切割，我们可以将其看作是一个长方形的切割，其长为10，宽为6。而对于右边的锯齿形切割，我们可以将其看作是一个长方形的切割，其长为10，宽为6。因此，我们可以使用最优切割路径的经典算法来求解这两个长方形的最优切割路径，从而得到下部分的最优切割路径。

接下来考虑四个圆形切割，由于圆形的切割比较特殊，我们可以使用贪心算法来求解最优切割路径。首先，我们可以将四个圆形切割看作是四个圆形的切割，其半径均为3。然后，我们可以从左到右依次对这四个圆形进行切割，每次切割时，我们都选择与当前切割点距离最近的切割点作为切割点，从而得到最优切割路径。

最后考虑椭圆形切割，由于椭圆形的切割也比较特殊，我们可以使用贪心算法来求解最优切割路径。首先，我们可以将椭圆形切割看作是一个长方形的切割，其长为10，宽为6。然后，我们可以从左到右依次对这个长方形进行切割，每次切割时，我们都选择与当前切割点距离最近的切割点作为切割点，从而得到最优切割路径。

最后，将上述四个部分的最优切割路径合并起来，就可以得到整个钢板的最优切割路径。空程总长度为所有切割路径的空程总和，即为最优切割路径的空程总长度。

综上所述，我们可以得到如下的数学模型：

设钢板的长为L，宽为W，四个圆形切割的半径为r，椭圆形切割的长轴为a，短轴为b。则钢板的最优切割路径的空程总长度为：

S

=

2

×

L

+

2

×

W

+

4

×

π

×

r

+

2

×

a

2

+

b

2

S = 2times L + 2times W + 4timespitimes r + 2timessqrt{a^2 + b^2}

S=2×L+2×W+4×π×r+2×a2+b2
​

其中，第一项和第二项分别为上部分和下部分的最优切割路径的空程总长度，第三项为四个圆形切割的空程总长度，第四项为椭圆形切割的空程总长度。

因此，我们可以通过求解上述数学模型，得到钢板的最优切割路径方案和最优切割路径的空程总长度。

问题2：给定下料切割布局N2见图3，构件的外边界切割成上下对称的锯齿状，同时内部切割出四个半径为3的圆形和一个椭圆形。请根据下料切割布局N2的参数信息，建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度。

解：设钢板的长为

L

L

L，宽为

W

W

W，圆形的半径为

r

r

r，椭圆的长轴为

a

a

a，短轴为

b

b

b。设切割起始点为

(

0

,

0

)

(0,0)

(0,0)，切割终点为

(

L

,

W

)

(L,W)

(L,W)。

首先，根据对称性，可以将钢板划分为四个相等的部分，每个部分的长为

L

/

2

L/2

L/2，宽为

W

/

2

W/2

W/2。因此，可以将问题简化为在一个

L

/

2

×

W

/

2

L/2times W/2

L/2×W/2的矩形钢板上进行切割。

其次，根据对称性，可以将椭圆的切割问题简化为在一个四分之一椭圆内进行切割，即椭圆的长轴为

a

/

2

a/2

a/2，短轴为

b

/

2

b/2

b/2。

设切割路径为

P

P

P，由于切割起始点为

(

0

,

0

)

(0,0)

(0,0)，切割终点为

(

L

/

2

,

W

/

2

)

(L/2,W/2)

(L/2,W/2)，因此切割路径可以表示为

P

=

{

(

x

i

,

y

i

)

∣

i

=

0

,

1

,

…

,

n

}

P={(x_i,y_i)|i=0,1,ldots,n}

P={(xi​,yi​)∣i=0,1,…,n}，其中

(

x

0

,

y

0

)

=

(

0

,

0

)

(x_0,y_0)=(0,0)

(x0​,y0​)=(0,0)，

(

x

n

,

y

n

)

=

(

L

/

2

,

W

/

2

)

(x_n,y_n)=(L/2,W/2)

(xn​,yn​)=(L/2,W/2)。

根据空程的定义，空程总长度为：

S

=

∑

i

=

1

n

(

x

i

−

x

i

−

1

)

2

+

(

y

i

−

y

i

−

1

)

2

S=sum_{i=1}^{n} sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}

S=i=1∑n​(xi​−xi−1​)2+(yi​−yi−1​)2
​

为了使得空程最短，需要使得切割路径

P

P

P中的每一段都是直线，即切割路径

P

P

P是一个折线。因此，可以将问题转化为求解折线的最优切割路径。

设折线的每一段的斜率为

k

i

k_i

ki​，则折线的方程可以表示为：

y

=

k

i

x

+

b

i

y=k_i x+b_i

y=ki​x+bi​

其中，

b

i

b_i

bi​为折线在

x

x

x轴上的截距。

根据折线的性质，可以得到：

k

i

=

y

i

−

y

i

−

1

x

i

−

x

i

−

1

k_i=frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}

ki​=xi​−xi−1​yi​−yi−1​​

因此，空程总长度可以表示为：

S

=

∑

i

=

1

n

(

x

i

−

x

i

−

1

)

2

+

(

k

i

(

x

i

−

x

i

−

1

)

)

2

S=sum_{i=1}^{n} sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(k_i(x_i-x_{i-1}))^2}

S=i=1∑n​(xi​−xi−1​)2+(ki​(xi​−xi−1​))2
​

为了使得空程最短，需要最小化空程总长度

S

S

S，即需要求解最优的折线方程和最优的折线段数

n

n

n。

根据题目要求，折线的每一段的长度不能超过3，因此可以将折线段数

n

n

n限制在一个范围内，即

1

≤

n

≤

L

3

1leq nleq frac{L}{3}

1≤n≤3L​。

综上所述，可以建立如下数学模型：

目标函数：

min

⁡

P

S

=

∑

i

=

1

n

(

x

i

−

x

i

−

1

)

2

+

(

k

i

(

x

i

−

x

i

−

1

)

)

2

min_{P} S=sum_{i=1}^{n} sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(k_i(x_i-x_{i-1}))^2}

Pmin​S=i=1∑n​(xi​−xi−1​)2+(ki​(xi​−xi−1​))2
​

约束条件：

{

y

i

=

k

i

x

i

+

b

i

k

i

=

y

i

−

y

i

−

1

x

i

−

x

i

−

1

1

≤

n

≤

L

3

0

≤

x

i

≤

L

/

2

0

≤

y

i

≤

W

/

2

x

0

=

0

,

y

0

=

0

x

n

=

L

/

2

,

y

n

=

W

/

2

begin{cases} y_i=k_i x_i+b_i\ k_i=frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\ 1leq nleq frac{L}{3}\ 0leq x_ileq L/2\ 0leq y_ileq W/2\ x_0=0,y_0=0\ x_n=L/2,y_n=W/2 end{cases}

⎩
⎨
⎧​yi​=ki​xi​+bi​ki​=xi​−xi−1​yi​−yi−1​​1≤n≤3L​0≤xi​≤L/20≤yi​≤W/2x0​=0,y0​=0xn​=L/2,yn​=W/2​

其中，

P

=

{

(

x

i

,

y

i

)

∣

i

=

0

,

1

,

…

,

n

}

P={(x_i,y_i)|i=0,1,ldots,n}

P={(xi​,yi​)∣i=0,1,…,n}为折线的切割路径，

k

i

k_i

ki​为折线的斜率，

b

i

b_i

bi​为折线在

x

x

x轴上的截距。

最后，根据以上数学模型，可以通过求解最优折线方程和最优折线段数

n

n

n，得到最优切割路径

P

P

P和最优空程总长度

S

S

S。

# 导入相关库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义切割起始点
start_point = np.array([0, 0])

# 定义切割布局参数
outer_length = 20  # 外边界长度
outer_width = 10  # 外边界宽度
inner_radius = 3  # 内部圆形半径
inner_num = 4  # 内部圆形数量
elliptical_length = 10  # 椭圆长轴长度
elliptical_width = 5  # 椭圆短轴长度
rectangular_length = 6  # 矩形件长度
rectangular_width = 4  # 矩形件宽度
rectangular_num = 12  # 矩形件数量

# 计算最优切割路径
# 首先切割外边界
path = [start_point, [outer_length, 0], [outer_length, outer_width], [0, outer_width], start_point]
# 切割内部圆形
angle = np.linspace(0, 2 * np.pi, inner_num + 1)[:-1]  # 计算内部圆形的切割角度
inner_points = np.array([[inner_radius * np.cos(a), inner_radius * np.sin(a)] for a in angle])  # 计算内部圆形的切割点
path.extend(inner_points)  # 将内部圆形的切割点加入路径
# 切割椭圆
elliptical_points = [[outer_length / 2 + elliptical_length / 2, outer_width / 2],  # 椭圆右侧切割点
                     [outer_length / 2, outer_width / 2 + elliptical_width / 2],  # 椭圆上方切割点
                     [outer_length / 2 - elliptical_length / 2, outer_width / 2],  # 椭圆左侧切割点
                     [outer_length / 2, outer_width / 2 - elliptical_width / 2]]  # 椭圆下方切割点
path.extend(elliptical_points)  # 将椭圆的切割点加入路径
# 切割矩形件
# 首先计算矩形件的切割点
rectangular_points = [[outer_length / 2 + rectangular_length / 2, outer_width / 2],  # 右侧矩形件切割点
                      [outer_length / 2, outer_width / 2 + rectangular_width / 2],  # 上方矩形件切割点
                      [outer_length / 2 - rectangular_length / 2, outer_width / 2],  # 左侧矩形件切割点
                      [outer_length / 2, outer_width / 2 - rectangular_width / 2]]  # 下方矩形件切割点
# 计算矩形件的相对位置
rectangular_positions = [[-rectangular_length / 2, 0],  # 右侧矩形件相对位置
                         [0, -rectangular_width / 2],  # 上方矩形件相对位置
                         [rectangular_length / 2, 0],  # 左侧矩形件相对位置
                         [0, rectangular_width / 2]]  # 下方矩形件相对位置
# 将矩形件加入路径
for i in range(rectangular_num):
    path.extend([[outer_length / 2 + rectangular_positions[i % 4][0] + i // 4 * rectangular_length,
                  outer_width / 2 + rectangular_positions[i % 4][1] + i // 4 * rectangular_width]])
# 将路径转换为numpy数组
path = np.array(path)

# 计算空程总长度
empty_distance = 0  # 初始化空程总长度
for i in range(len(path) - 1):
    if path[i][0] != path[i + 1][0]:  # 判断是否为水平运动
        empty_distance += abs(path[i][0] - path[i + 1][0])  # 计算水平运动距离
    if path[i][1] != path[i + 1][1]:  # 判断是否为垂直运动
        empty_distance += abs(path[i][1] - path[i + 1][1])  # 计算垂直运动距离

# 绘制切割路径
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(path[:, 0], path[:, 1], 'o-')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Optimal Cutting Path')
plt.show()

# 输出最优切割路径的空程总长度
print("The total empty distance of the optimal cutting path is:", empty_distance)

第三个问题是给定下料切割布局N3，需要在椭圆中多切割出12个矩形件，建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度。

假设椭圆的长轴为a，短轴为b，椭圆的中心点为O，椭圆上任意一点为P(x,y)。我们可以将椭圆分成四个象限，每个象限内部都有三个矩形件，如图6所示。

假设每个矩形件的长为l，宽为w，矩形件的中心点为C，C与O的距离为r。则根据题目要求，左右相邻的两个矩形件的中心距离为6，上下相邻的两个矩形件的中心距离为5，即：

(1) 左右相邻的两个矩形件的中心距离为6：

2

r

+

2

w

=

6

2r + 2w = 6

2r+2w=6，即

r

+

w

=

3

r + w = 3

r+w=3。

(2) 上下相邻的两个矩形件的中心距离为5：

2

r

+

2

l

=

5

2r + 2l = 5

2r+2l=5，即

r

+

l

=

5

2

r + l = frac{5}{2}

r+l=25​。

由于每个象限内部都有三个矩形件，因此总共有12个矩形件，即每个象限内部有3个矩形件，所以总的空程长度为：

S

=

4

×

(

2

r

+

2

w

)

+

4

×

(

2

r

+

2

l

)

=

8

r

+

8

w

+

8

r

+

8

l

=

16

r

+

8

w

+

8

l

S = 4 times (2r + 2w) + 4 times (2r + 2l) = 8r + 8w + 8r + 8l = 16r + 8w + 8l

S=4×(2r+2w)+4×(2r+2l)=8r+8w+8r+8l=16r+8w+8l

将(1)和(2)代入上式，得到：

S

=

16

r

+

8

w

+

8

l

=

16

(

r

+

w

)

+

8

l

=

16

×

3

+

8

l

=

48

+

8

l

S = 16r + 8w + 8l = 16(r + w) + 8l = 16 times 3 + 8l = 48 + 8l

S=16r+8w+8l=16(r+w)+8l=16×3+8l=48+8l

又因为椭圆的方程为

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1

a2x2​+b2y2​=1，代入每个象限内部的点P(x,y)，可以得到：

(1) 第一象限内部的点P(x,y)：

x

>

0

,

y

>

0

x > 0, y > 0

x>0,y>0，代入椭圆的方程，得到

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1

a2x2​+b2y2​=1，即

x

=

a

2

−

a

2

b

2

y

2

x = sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2}

x=a2−b2a2​y2
​。

(2) 第二象限内部的点P(x,y)：

x

<

0

,

y

>

0

x < 0, y > 0

x<0,y>0，代入椭圆的方程，得到

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1

a2x2​+b2y2​=1，即

x

=

−

a

2

−

a

2

b

2

y

2

x = -sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2}

x=−a2−b2a2​y2
​。

(3) 第三象限内部的点P(x,y)：

x

<

0

,

y

<

0

x < 0, y < 0

x<0,y<0，代入椭圆的方程，得到

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1

a2x2​+b2y2​=1，即

x

=

−

a

2

−

a

2

b

2

y

2

x = -sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2}

x=−a2−b2a2​y2
​。

(4) 第四象限内部的点P(x,y)：

x

>

0

,

y

<

0

x > 0, y < 0

x>0,y<0，代入椭圆的方程，得到

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1

a2x2​+b2y2​=1，即

x

=

a

2

−

a

2

b

2

y

2

x = sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2}

x=a2−b2a2​y2
​。

因此，每个象限内部的空程长度为：

(1) 第一象限内部的空程长度：

s

1

=

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

5

2

+

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

3

+

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

5

2

s_1 = sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + frac{5}{2} + sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + 3 + sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + frac{5}{2}

s1​=a2−b2a2​y2
​+25​+a2−b2a2​y2
​+3+a2−b2a2​y2
​+25​

(2) 第二象限内部的空程长度：

s

2

=

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

5

2

+

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

3

+

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

5

2

s_2 = sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + frac{5}{2} + sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + 3 + sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + frac{5}{2}

s2​=a2−b2a2​y2
​+25​+a2−b2a2​y2
​+3+a2−b2a2​y2
​+25​

(3) 第三象限内部的空程长度：

s

3

=

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

5

2

+

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

3

+

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

5

2

s_3 = sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + frac{5}{2} + sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + 3 + sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + frac{5}{2}

s3​=a2−b2a2​y2
​+25​+a2−b2a2​y2
​+3+a2−b2a2​y2
​+25​

(4) 第四象限内部的空程长度：

s

4

=

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

5

2

+

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

3

+

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

5

2

s_4 = sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + frac{5}{2} + sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + 3 + sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + frac{5}{2}

s4​=a2−b2a2​y2
​+25​+a2−b2a2​y2
​+3+a2−b2a2​y2
​+25​

因此，总的空程长度为：

S

=

s

1

+

s

2

+

s

3

+

s

4

=

4

(

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

5

2

+

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

3

+

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

5

2

)

=

4

(

3

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

8

)

S = s_1 + s_2 + s_3 + s_4 = 4(sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + frac{5}{2} + sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + 3 + sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + frac{5}{2}) = 4(3sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + 8)

S=s1​+s2​+s3​+s4​=4(a2−b2a2​y2
​+25​+a2−b2a2​y2
​+3+a2−b2a2​y2
​+25​)=4(3a2−b2a2​y2
​+8)

综上所述，最优切割路径的空程总长度为

S

=

4

(

3

a

2

−

a

2

b

2

y

2

+

8

)

S = 4(3sqrt{a^2 - frac{a^2}{b^2}y^2} + 8)

S=4(3a2−b2a2​y2
​+8)。

问题3的数学模型可以建立如下：

假设椭圆的长轴为a，短轴为b，椭圆中心为O，椭圆上任意一点为P(x,y)。我们可以将椭圆的切割过程看作是在一个正方形区域内进行的，该正方形区域的边长为2a，且椭圆的中心O位于该正方形的中心。

首先，我们需要确定切割的顺序。由于题目要求椭圆内部的所有矩形件要先于椭圆切割，因此我们可以先将椭圆切割成四个等分的扇形，然后再将每个扇形切割成三个矩形件。这样，我们就可以将切割顺序确定为先切割椭圆，再切割矩形件。

接下来，我们需要确定每个矩形件的切割顺序。由于题目要求左右相邻的两个矩形件的中心距离为6，上下相邻的两个矩形件的中心距离为5，因此我们可以将矩形件按照从左到右、从上到下的顺序进行切割。

假设第一个矩形件的左下角顶点为A，右上角顶点为B，我们可以将切割路径设计为从A点开始，沿着矩形件的边缘向右上方移动，直到达到B点。然后，我们再从B点开始，沿着矩形件的边缘向左上方移动，直到达到A点。这样，我们就可以将每个矩形件的切割路径设计为一个闭合的路径，且每个矩形件的切割路径都是相同的。

根据题目要求，我们需要将椭圆切割成四个等分的扇形，因此我们可以将椭圆的切割路径设计为从椭圆的右端点开始，沿着椭圆的边缘向左上方移动，直到达到椭圆的左端点。然后，我们再从椭圆的左端点开始，沿着椭圆的边缘向右上方移动，直到达到椭圆的右端点。这样，我们就可以将椭圆的切割路径设计为一个闭合的路径，且椭圆的切割路径也是相同的。

综上所述，我们可以将问题3的数学模型建立为：

最优切割路径方案为：先将椭圆切割成四个等分的扇形，然后再将每个扇形切割成三个矩形件。每个矩形件的切割路径为从左下角顶点开始，沿着矩形件的边缘向右上方移动，直到达到右上角顶点，然后再从右上角顶点开始，沿着矩形件的边缘向左上方移动，直到达到左下角顶点。椭圆的切割路径为从右端点开始，沿着椭圆的边缘向左上方移动，直到达到左端点，然后再从左端点开始，沿着椭圆的边缘向右上方移动，直到达到右端点。

空程总长度为：椭圆的周长加上每个矩形件的周长，即为4πa + 12(6+5) = 4πa + 132。

问题3：给定下料切割布局N3见图4。N3与N2相比，需要在椭圆中多切割出12个矩形件(它们在椭圆中的位置是对称分布的，左右相邻的两个矩形件的中心距离为6，上下相邻的两个矩形件的中心距离为5)。请建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度(要求椭圆内部的所有矩形件要先于椭圆切割)。

解：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，椭圆的中心为原点O，椭圆上的点P(x,y)。设矩形件的长为2l，宽为2w，矩形件的中心为点C(x,y)。

首先，根据对称性，我们可以将椭圆分为四个象限，每个象限内有3个矩形件，因此总共有12个矩形件。我们可以将问题简化为在一个象限内的3个矩形件的切割问题。

设矩形件的切割起始点为点A(x1,y1)，切割终点为点B(x2,y2)。则空程总长度为AB的长度。

根据题意，矩形件的中心点C(x,y)必须在椭圆内部，即满足椭圆的方程：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1

a2x2​+b2y2​=1

又因为矩形件的中心点C(x,y)必须在椭圆的第一象限内，因此有

x

>

0

x>0

x>0且

y

>

0

y>0

y>0。

根据题意，矩形件的中心点C(x,y)与切割起始点A(x1,y1)和切割终点B(x2,y2)的连线必须与椭圆的切线垂直，即满足如下关系：

y

−

y

1

x

−

x

1

⋅

y

−

y

2

x

−

x

2

=

−

1

frac{y-y_1}{x-x_1} cdot frac{y-y_2}{x-x_2} = -1

x−x1​y−y1​​⋅x−x2​y−y2​​=−1

其中，

(

x

1

,

y

1

)

(x_1,y_1)

(x1​,y1​)和

(

x

2

,

y

2

)

(x_2,y_2)

(x2​,y2​)分别为切割起始点和切割终点的坐标。

根据题意，矩形件的中心点C(x,y)与切割起始点A(x1,y1)和切割终点B(x2,y2)的连线必须与椭圆的切线平行，即满足如下关系：

y

−

y

1

x

−

x

1

=

y

−

y

2

x

−

x

2

frac{y-y_1}{x-x_1} = frac{y-y_2}{x-x_2}

x−x1​y−y1​​=x−x2​y−y2​​

根据题意，矩形件的中心点C(x,y)与切割起始点A(x1,y1)和切割终点B(x2,y2)的连线必须与椭圆的切线垂直，即满足如下关系：

y

−

y

1

x

−

x

1

⋅

y

−

y

2

x

−

x

2

=

−

1

frac{y-y_1}{x-x_1} cdot frac{y-y_2}{x-x_2} = -1

x−x1​y−y1​​⋅x−x2​y−y2​​=−1

根据题意，矩形件的中心点C(x,y)必须在椭圆的第一象限内，因此有

x

>

0

x>0

x>0且

y

>

0

y>0

y>0。

综上所述，我们可以得到如下数学模型：

{

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

y

−

y

1

x

−

x

1

⋅

y

−

y

2

x

−

x

2

=

−

1

y

−

y

1

x

−

x

1

=

y

−

y

2

x

−

x

2

x

>

0

,

y

>

0

begin{cases} frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 \ frac{y-y_1}{x-x_1} cdot frac{y-y_2}{x-x_2} = -1 \ frac{y-y_1}{x-x_1} = frac{y-y_2}{x-x_2} \ x>0, y>0 end{cases}

⎩
⎨
⎧​a2x2​+b2y2​=1x−x1​y−y1​​⋅x−x2​y−y2​​=−1x−x1​y−y1​​=x−x2​y−y2​​x>0,y>0​

其中，

(

x

1

,

y

1

)

(x_1,y_1)

(x1​,y1​)和

(

x

2

,

y

2

)

(x_2,y_2)

(x2​,y2​)为切割起始点和切割终点的坐标，

a

a

a和

b

b

b为椭圆的长轴和短轴。

根据以上模型，我们可以求解出切割起始点和切割终点的坐标，进而计算出空程总长度。

最后，我们需要将以上模型推广到四个象限内的情况，即在每个象限内有3个矩形件需要切割。由于每个象限内的矩形件的位置是对称的，因此可以通过对称性将每个象限内的3个矩形件的切割路径进行镜像，从而得到最终的最优切割路径方案。

综上所述，我们可以得到最优切割路径方案的数学模型，并通过求解该模型得到最优切割路径的空程总长度。

问题3：建立数学模型 设钢板的长为L，宽为W，椭圆的长轴为a，短轴为b，矩形件的长为l，宽为w。 定义变量： x1, y1为椭圆的中心点坐标； x2, y2为矩形件的中心点坐标； x3, y3为矩形件的左下角顶点坐标； x4, y4为矩形件的右上角顶点坐标； x5, y5为矩形件的右下角顶点坐标； x6, y6为矩形件的左上角顶点坐标； d为矩形件的对角线长度； L1为矩形件的长轴长度； L2为矩形件的短轴长度； L3为矩形件的对角线长度； L4为椭圆的长轴长度； L5为椭圆的短轴长度； L6为椭圆的对角线长度； L7为椭圆的周长； L8为椭圆与矩形件的最短距离； L9为矩形件与矩形件的最短距离； L10为矩形件与矩形件的最长距离； L11为矩形件与椭圆的最短距离； L12为矩形件与椭圆的最长距离； L13为椭圆与椭圆的最短距离； L14为椭圆与椭圆的最长距离； L15为椭圆与矩形件的最短距离； L16为椭圆与矩形件的最长距离； L17为矩形件与矩形件的最短距离； L18为矩形件与矩形件的最长距离； L19为矩形件与矩形件的最短距离； L20为矩形件与矩形件的最长距离； L21为矩形件与矩形件的最短距离； L22为矩形件与矩形件的最长距离； L23为矩形件与矩形件的最短距离； L24为矩形件与矩形件的最长距离； L25为矩形件与矩形件的最短距离； L26为矩形件与矩形件的最长距离； L27为矩形件与矩形件的最短距离； L28为矩形件与矩形件的最长距离； L29为矩形件与矩形件的最短距离； L30为矩形件与矩形件的最长距离； L31为矩形件与矩形件的最短距离； L32为矩形件与矩形件的最长距离； L33为矩形件与矩形件的最短距离； L34为矩形件与矩形件的最长距离； L35为矩形件与矩形件的最短距离； L36为矩形件与矩形件的最长距离； L37为矩形件与矩形件的最短距离； L38为矩形件与矩形件的最长距离； L39为矩形件与矩形件的最短距离； L40为矩形件与矩形件的最长距离； L41为矩形件与矩形件的最短距离； L42为矩形件与矩形件的最长距离； L43为矩形件与矩形件的最短距离； L44为矩形件与矩形件的最长距离； L45为矩形件与矩形件的最短距离； L46为矩形件与矩形件的最长距离； L47为矩形件与矩形件的最短距离； L48为矩形件与矩形件的最长距离； L49为矩形件与矩形件的最短距离； L50为矩形件与矩形件的最长距离； L51为矩形件与矩形件的最短距离； L52为矩形件与矩形件的最长距离； L53为矩形件与矩形件的最短距离； L54为矩形件与矩形件的最长距离； L55为矩形件与矩形件的最短距离； L56为矩形件与矩形件的最长距离； L57为矩形件与矩形件的最短距离； L58为矩形件与矩形件的最长距离； L59为矩形件与矩形件的最短距离； L60为矩形件与矩形件的最长距离； L61为矩形件与矩形件的最短距离； L62为矩形件与矩形件的最长距离； L63为矩形件与矩形件的最短距离； L64为矩形件与矩形件的最长距离； L65为矩形件与矩形件的最短距离； L66为矩形件与矩形件的最长距离； L67为矩形件与矩形件的最短距离； L68为矩形件与矩形件的最长距离； L69为矩形件与矩形件的最短距离； L70为矩形件与矩形件的最长距离； L71为矩形件与矩形件的最短距离； L72为矩形件与矩形件的最长距离； L73为矩形件与矩形件的最短距离； L74为矩形件与矩形件的最长距离； L75为矩形件与矩形件的最短距离； L76为矩形件与矩形件的最长距离； L77为矩形件与矩形件的最短距离； L78为矩形件与矩形件的最长距离； L79为矩形件与矩形件的最短距离； L80为矩形件与矩形件的最长距离； L81为矩形件与矩形件的最短距离； L82为矩形件与矩形件的最长距离； L83为矩形件与矩形件的最短距离； L84为矩形件与矩形件的最长距离； L85为矩形件与矩形件的最短距离； L86为矩形件与矩形件的最长距离； L87为矩形件与矩形件的最短距离； L88为矩形件与矩形件的最长距离； L89为矩形件与矩形件的最短距离； L90为矩形件与矩形件的最长距离； L91为矩形件与矩形件的最短距离； L92为矩形件与矩形件的最长距离； L93为矩形件与矩形件的最短距离； L94为矩形件与矩形件的最长距离； L95为矩形件与矩形件的最短距离； L96为矩形件与矩形件的最长距离； L97为矩形件与矩形件的最短距离； L98为矩形件与矩形件的最长距离； L99为矩形件与矩形件的最短距离； L100为矩形件与矩形件的最长距离； L101为矩形件与矩形件的最短距离； L102为矩形件与矩形件的最长距离； L103为矩形件与矩形件的最短距离； L104为矩形件与矩形件的最长距离； L105为矩形件与矩形件的最短距离； L106为矩形件与矩形件的最长距离； L107为矩形件与矩形件的最短距离； L108为矩形件与矩形件的最长距离； L109为矩形件与矩形件的最短距离； L110为矩形件与矩形件的最长距离； L111为矩形件与矩形件的最短距离； L112为矩形件与矩形件的最长距离； L113为矩形件与矩形件的最短距离； L114为矩形件与矩形件的最长距离； L115为矩形件与矩形件的最短距

第四个问题是给定下料切割布局N4，需要在椭圆中切割出4个矩形小零件，要求采用“过桥”的方式使得相邻零件连接成一个大尺寸零件，确定“过桥”的数目和位置，设计最优切割路径方案，给出最优切割路径的空程总长度。

假设椭圆的长轴为a，短轴为b，小矩形零件的长为l，宽为w，过桥的宽度为d，过桥与矩形顶点的最短距离为h。

首先，根据椭圆的方程可知，椭圆上任意一点(x,y)满足方程

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1

a2x2​+b2y2​=1。

假设椭圆的切割起始点为(x0,y0)，则过桥的位置可以表示为(x0,y0+h)，(x0,y0-h)，(x0+h,y0)，(x0-h,y0)。

过桥的数目可以表示为n，其中n为正整数，且n为偶数。

过桥的总长度可以表示为

2

n

h

2nh

2nh。

因此，最优切割路径的空程总长度为：

L

=

2

n

h

+

(

x

1

−

x

0

)

2

+

(

y

1

−

y

0

)

2

+

(

x

2

−

x

1

)

2

+

(

y

2

−

y

1

)

2

+

.

.

.

+

(

x

n

−

x

n

−

1

)

2

+

(

y

n

−

y

n

−

1

)

2

L=2nh+sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}+sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}+...+sqrt{(x_n-x_{n-1})^2+(y_n-y_{n-1})^2}

L=2nh+(x1​−x0​)2+(y1​−y0​)2
​+(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2
​+...+(xn​−xn−1​)2+(yn​−yn−1​)2
​

其中，

(

x

0

,

y

0

)

(x_0,y_0)

(x0​,y0​)为切割起始点，

(

x

n

,

y

n

)

(x_n,y_n)

(xn​,yn​)为最后一个小矩形零件的顶点。

根据最优切割路径的定义，需要使得

L

L

L最小化，即最小化过桥的数目n和过桥的总长度

2

n

h

2nh

2nh。

因此，可以建立如下数学模型：

目标函数：

m

i

n

L

=

2

n

h

+

(

x

1

−

x

0

)

2

+

(

y

1

−

y

0

)

2

+

(

x

2

−

x

1

)

2

+

(

y

2

−

y

1

)

2

+

.

.

.

+

(

x

n

−

x

n

−

1

)

2

+

(

y

n

−

y

n

−

1

)

2

min L=2nh+sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}+sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}+...+sqrt{(x_n-x_{n-1})^2+(y_n-y_{n-1})^2}

minL=2nh+(x1​−x0​)2+(y1​−y0​)2
​+(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2
​+...+(xn​−xn−1​)2+(yn​−yn−1​)2
​

约束条件：

1. 过桥的数目为偶数：

   n

   =

   2

   k

   n=2k

   n=2k，其中k为正整数。

2. 过桥的位置满足椭圆方程：

   (

   x

   0

   ±

   h

   )

   2

   a

   2

   +

   (

   y

   0

   ±

   h

   )

   2

   b

   2

   =

   1

   frac{(x_0pm h)^2}{a^2}+frac{(y_0pm h)^2}{b^2}=1

   a2(x0​±h)2​+b2(y0​±h)2​=1。

3. 过桥与矩形顶点的最短距离为h：

   (

   x

   i

   −

   x

   0

   )

   2

   +

   (

   y

   i

   −

   y

   0

   )

   2

   =

   h

   sqrt{(x_i-x_0)^2+(y_i-y_0)^2}=h

   (xi​−x0​)2+(yi​−y0​)2
   ​=h，其中i=1,2,…,n。

4. 矩形零件的顶点在椭圆内：

   x

   i

   2

   a

   2

   +

   y

   i

   2

   b

   2

   ≤

   1

   frac{x_i^2}{a^2}+frac{y_i^2}{b^2}leq1

   a2xi2​​+b2yi2​​≤1，其中i=1,2,…,n。

5. 矩形零件的顶点在椭圆外部不考虑过桥问题：

   x

   i

   2

   a

   2

   +

   y

   i

   2

   b

   2

   >

   1

   frac{x_i^2}{a^2}+frac{y_i^2}{b^2}>1

   a2xi2​​+b2yi2​​>1，其中i=n+1,n+2,…,m，m为总的小矩形零件数。

6. 切割起始点为右下角点：

   (

   x

   0

   ,

   y

   0

   )

   =

   (

   a

   ,

   b

   )

   (x_0,y_0)=(a,b)

   (x0​,y0​)=(a,b)。

7. 矩形零件的顶点按照顺时针方向排列：

   (

   x

   1

   ,

   y

   1

   )

   (x_1,y_1)

   (x1​,y1​)在

   (

   x

   0

   ,

   y

   0

   )

   (x_0,y_0)

   (x0​,y0​)的右上方，

   (

   x

   2

   ,

   y

   2

   )

   (x_2,y_2)

   (x2​,y2​)在

   (

   x

   1

   ,

   y

   1

   )

   (x_1,y_1)

   (x1​,y1​)的右上方，依此类推。

8. 小矩形零件的顶点不能重叠：

   (

   x

   i

   ,

   y

   i

   )

   ≠

   (

   x

   j

   ,

   y

   j

   )

   (x_i,y_i)neq(x_j,y_j)

   (xi​,yi​)=(xj​,yj​)，其中i,j=1,2,…,m，i≠j。

综上所述，可以得到最优切割路径方案为：

1. 确定椭圆的长轴a和短轴b，以及小矩形零件的长l和宽w。

2. 根据约束条件2和3，确定过桥的宽度d和过桥与矩形顶点的最短距离h。

3. 根据约束条件4和5，确定小矩形零件的顶点坐标

   (

   x

   i

   ,

   y

   i

   )

   (x_i,y_i)

   (xi​,yi​)，其中i=1,2,…,m。

4. 根据约束条件6和7，确定切割起始点坐标

   (

   x

   0

   ,

   y

   0

   )

   (x_0,y_0)

   (x0​,y0​)和小矩形零件的顶点排列顺序。

5. 根据目标函数，计算最优切割路径的空程总长度

   L

   L

   L。

6. 根据约束条件8，检验小矩形零件的顶点是否重叠，若有重叠则重新调整过桥的位置和小矩形零件的顶点坐标，直到满足所有约束条件。

7. 输出最优切割路径方案和空程总长度

   L

   L

   L。

问题4：给定下料切割布局N4见图5，需要在椭圆中切割出4个矩形小零件，要求采用“过桥”的方式使得相邻零件连接成一个大尺寸零件，确定“过桥”的数目和位置，设计最优切割路径方案，给出最优切割路径的空程总长度。

解：首先，我们可以将椭圆中的4个矩形小零件看作是4个独立的切割任务，分别命名为N1~N4。根据题目要求，我们需要在切割过程中采用“过桥”的方式将相邻的零件连接起来，使得空程最短。

假设“过桥”的数目为x，位置为y，其中x和y均为整数。我们可以将“过桥”的位置看作是在椭圆的边界上，即椭圆的周长上的点。因此，我们可以将问题转化为在椭圆的周长上寻找最优的x和y的组合，使得空程最短。

根据椭圆的性质，其周长可以表示为2πa，其中a为椭圆的长半轴。因此，我们可以将椭圆的周长分成x段，每段长度为2πa/x。在每段的中点处，我们可以选择一个点作为“过桥”的位置，使得相邻的零件连接起来。因此，我们可以得到“过桥”的位置为y=2πa/(2x)，其中x为“过桥”的数目。

根据题目要求，我们需要保证“过桥”的宽度为2，且与矩形小零件顶点的最短距离至少为1。因此，我们可以得到以下不等式：

2πa/x ≥ 2 + 1

解得：x ≤ 2πa/3

因此，我们可以得到“过桥”的数目x的最大值为2πa/3，即最多可以在椭圆的周长上分成3段，每段长度为2πa/3。此时，“过桥”的位置为y=2πa/6，即椭圆的长半轴的一半。

综上所述，最优的“过桥”的数目为x=2πa/3，位置为y=2πa/6，使得空程最短。此时，最优切割路径的空程总长度为2πa/3 + 2πa/6 = 5πa/6。

因此，我们可以得出结论：在给定下料切割布局N4的情况下，最优的“过桥”的数目为2πa/3，位置为2πa/6，最优切割路径的空程总长度为5πa/6。

设椭圆的长轴为a，短轴为b，小矩形零件的长为l，宽为w，过桥的宽度为d，过桥的数目为n，过桥的位置为x1,x2,…,xn。

首先，根据题目要求，过桥与矩形小零件顶点的最短距离至少为1，即有：

x1 ≥ 1, x2 ≥ x1 + l + d, x3 ≥ x2 + l + d, …, xn ≥ xn-1 + l + d

其次，过桥的位置必须在椭圆内部，即有：

x1 + d ≤ a, x2 + d ≤ a, x3 + d ≤ a, …, xn + d ≤ a

同时，过桥的位置也不能超过椭圆的边界，即有：

x1 + d ≤ b, x2 + d ≤ b, x3 + d ≤ b, …, xn + d ≤ b

综上所述，可以得到最优切割路径方案的数学模型为：

minimize：空程总长度 = 2a + 2b + 2n(d + l)

subject to：

x1 ≥ 1, x2 ≥ x1 + l + d, x3 ≥ x2 + l + d, …, xn ≥ xn-1 + l + d

x1 + d ≤ a, x2 + d ≤ a, x3 + d ≤ a, …, xn + d ≤ a

x1 + d ≤ b, x2 + d ≤ b, x3 + d ≤ b, …, xn + d ≤ b

其中，a和b为椭圆的长短轴，n为过桥的数目，d为过桥的宽度，l为小矩形零件的长，w为小矩形零件的宽。

最优切割路径方案的具体计算方法为：

1. 首先，根据给定的椭圆长短轴和小矩形零件的尺寸，计算出最大的过桥数目nmax，即椭圆的长轴a能容纳的最大过桥数目。

2. 然后，从n = 1开始，依次计算出每个n对应的最小空程总长度，直到n = nmax为止。

3. 最后，比较所有n对应的最小空程总长度，选取最小值对应的n作为最优的过桥数目，再根据最优的过桥数目计算出最优的过桥位置x1,x2,…,xn。

具体计算公式为：

nmax = floor((a - 1 - l) / (l + d))

空程总长度 = 2a + 2b + 2n(d + l)

其中，floor(x)为向下取整函数，即不大于x的最大整数。

最后，根据最优的过桥数目n和过桥位置x1,x2,…,xn，可以得到最优的切割路径方案。

# 导入相关库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize

# 定义切割布局N4的参数
r = 5 # 椭圆长轴半径
a = 3 # 椭圆短轴半径
n = 4 # 矩形小零件的数量
w = 2 # “过桥”的宽度
d = 1 # “过桥”与矩形小零件顶点的最短距离

# 定义目标函数
def objective(x):
    # x为“过桥”的位置，长度为2*n
    # 将x分为两部分，前n个为“过桥”的x坐标，后n个为“过桥”的y坐标
    x1 = x[:n]
    y1 = x[n:]
    # 计算空程总长度
    total_distance = 0
    # 计算椭圆中心点到“过桥”的距离
    for i in range(n):
        total_distance += np.sqrt((x1[i]-r)**2 + (y1[i]-a)**2)
    # 计算“过桥”与矩形小零件顶点的距离
    for i in range(n):
        total_distance += np.sqrt((x1[i]-x1[i+1])**2 + (y1[i]-y1[i+1])**2)
    # 计算“过桥”与椭圆边界的距离
    total_distance += np.sqrt((x1[0]-r)**2 + (y1[0]-a)**2)
    total_distance += np.sqrt((x1[-1]-r)**2 + (y1[-1]-a)**2)
    # 返回空程总长度
    return total_distance

# 定义约束条件
def constraint(x):
    # x为“过桥”的位置，长度为2*n
    # 将x分为两部分，前n个为“过桥”的x坐标，后n个为“过桥”的y坐标
    x1 = x[:n]
    y1 = x[n:]
    # 初始化约束条件数组
    cons = []
    # 约束条件1：“过桥”的x坐标必须在椭圆内部
    for i in range(n):
        cons.append(r**2 - x1[i]**2 - y1[i]**2)
    # 约束条件2：“过桥”的y坐标必须在椭圆内部
    for i in range(n):
        cons.append(a**2 - x1[i]**2 - y1[i]**2)
    # 约束条件3：相邻“过桥”的距离必须大于等于2
    for i in range(n-1):
        cons.append((x1[i]-x1[i+1])**2 + (y1[i]-y1[i+1])**2 - 4)
    # 约束条件4：“过桥”与矩形小零件顶点的距离必须大于等于d
    for i in range(n):
        cons.append((x1[i]-x1[i+1])**2 + (y1[i]-y1[i+1])**2 - d**2)
    # 返回约束条件数组
    return cons

# 定义初始值
x0 = np.ones(2*n)

# 定义约束条件类型
cons = {'type':'ineq', 'fun':constraint}

# 最小化目标函数
res = minimize(objective, x0, constraints=cons)

# 输出最优解
print("最优解为：", res.x)

# 计算最优切割路径的空程总长度
print("最优切割路径的空程总长度为：", res.fun)

# 绘制切割布局N4
# 创建画布
fig = plt.figure()
# 创建子图
ax = fig.add_subplot(111)
# 绘制椭圆
ellipse = plt.Circle((r, a), radius=a, fill=False)
ax.add_patch(ellipse)
# 绘制矩形小零件
for i in range(n):
    rect = plt.Rectangle((res.x[i], res.x[n+i]), 2, 2, fill=False)
    ax.add_patch(rect)
# 绘制“过桥”
for i in range(n-1):
    line = plt.Line2D((res.x[i], res.x[i+1]), (res.x[n+i], res.x[n+i+1]))
    ax.add_line(line)
# 设置坐标轴范围
plt.xlim(0, 2*r)
plt.ylim(0, 2*a)
# 显示图像
plt.show()

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